以下内容参考于知乎奇异值分解（SVD）学习笔记以及矩阵分析之奇异值分解（SVD），总结如下：
1 简介
奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD) 是在机器学习领域广泛应用的算法， 是一种提取信息的强大工具，它提供了一种非常便捷的矩阵分解的方式，能够发现数据中十分有意思的潜在模式。本文就对SVD的原理做一个介绍，并给出实际的使用案例。
2 特征值和特征向量
在做 SVD 推导之前，先了解一下特征值和特征向量的定义：
A
x
=
λ
x
Ax=\lambda x
Ax=λx
其中 A 是一个
n
×
n
n\times n
n×n 的矩阵，
x
x
x 是一个 n 维向量，则
λ
\lambda
λ 是矩阵 A 的一个特征值，而
x
x
x 是矩阵 A 的特征值
λ
\lambda
λ 所对应的特征向量。
求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。
也就是说矩阵A的信息可以由其特征值和特征向量表示。
如果我们求出了矩阵A的n个特征值
λ
1
≤
λ
2
≤
.
.
.
≤
λ
n
\lambda_{1}\leq \lambda_{2}\leq... \leq \lambda_{n}
λ1≤λ2≤...≤λn ，以及这 n 个特征值所对应的特征向量
w
1
,
w
2
,
.
.
.
,
w
n
{{ w_{1},w_{2}},...,w_{n}}
w1,w2,...,wn ，
那么矩阵 A 就可以用下式的特征分解表示： 其中 W 是这 n 个特征向量所张成的
n
×
n
n\times n
n×n 维矩阵，而 Σ 为这 n 个特征值为主对角线的
n
×
n
n\times n
n×n 维矩阵。
一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足
∣
∣
w
i
∣
∣
2
=
1
\left| \left| w_{i} \right| \right|_{2}=1
∣∣wi∣∣2=1 ，或者
w
i
T
w
i
=
1
w_{i}^{T}w_{i}=1
wiTwi=1 ，此时W的 n个特征向量为标准正交基，满足
W
T
W
=
I
W^{T}W=I
WTW=I ，即
W
T
=
W
−
1
W^{T}=W^{-1}
WT=W−1 ，也就是说W为酉矩阵。
正交矩阵（Orthogonal Matrix）是指其转置等于其逆的矩阵
A
T
=
A
−
1
A^T=A^{-1}
AT=A−1 酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广
这样我们的特征分解表达式可以写成 总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么。不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。
3 SVD分解
特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的，在现实的世界中，我们看到的大部分矩阵都不是方阵，比如说有M个学生，每个学生有N科成绩，这样形成的一个 M* N 的矩阵 A 就不可能是方阵，我们怎样才能描述这样普通的矩阵的重要特征呢？奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法： 其中 U 是一个
m
×
m
m\times m
m×m 的矩阵，
Σ
\Sigma
Σ 是一个
m
×
n
m\times n
m×n 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为 0，主对角线上的每个元素都称为奇异值， V 是一个
n
×
n
n\times n
n×n 的矩阵。 U 和 V 都是酉矩阵，即满足：
U
T
U
=
I
,
V
T
V
=
I
U^{T}U=I,V^{T}V=I
UTU=I,VTV=I 下图可以很形象的看出上面SVD的定义： 那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到
n
×
n
n×n
n×n 的一个方阵
A
T
A
A^{T}A
ATA 。既然
A
T
A
A^{T}A
ATA 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式： 这样我们就可以得到矩阵
A
T
A
A^{T}A
ATA 的 n 个特征值和对应的n个特征向量v了。将
A
T
A
A^{T}A
ATA 的所有特征向量张成一个
n
×
n
n×n
n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。
如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到
m
×
m
m×m
m×m 的一个方阵
A
A
T
AA^{T}
AAT 。既然
A
A
T
AA^{T}
AAT 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式： 这样我们就可以得到矩阵
A
A
T
AA^{T}
AAT 的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将
A
A
T
AA^{T}
AAT 的所有特征向量张成一个
m
×
m
m×m
m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。
U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 Σ 没有求出了,由于 Σ 除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值 σ 就可以了。
我们注意到: 这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 Σ。
上面还有一个问题没有讲，就是我们说
A
T
A
A^{T}A
ATA 的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而
A
A
T
AA^{T}
AAT 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。 上式证明使用了
U
U
=
I
,
Σ
T
=
Σ
U^{U}=I,\Sigma^{T}= \Sigma
UU=I,ΣT=Σ 。可以看出
A
T
A
A^{T}A
ATA 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到
A
A
T
AA^{T}
AAT 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系： 这样也就是说，我们可以不用
σ
i
=
A
v
i
u
i
\sigma_{i}=\frac{Av_{i}}{u_{i}}
σi=uiAvi 来计算奇异值，也可以通过求出
A
T
A
A^{T}A
ATA 的特征值取平方根来求奇异值。
4 SVD计算举例
对于矩阵A的奇异值，我们可以先通过 wolframalpha 计算出来： 手工计算步骤：
矩阵分析之奇异值分解（SVD） https://www.bilibili.com/video/av15971352/?p=5
如上图，我们可以看出SVD可以把矩阵分割成不同的矩阵相加，而分割后前面的系数就是SVD值，对于奇异值，它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。
也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。
由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪，也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。
5 SVD用于PCA
PCA降维，需要找到样本协方差矩阵
X
T
X
X^{T}X
XTX 的最大的 d 个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵
X
T
X
X^{T}X
XTX ，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。
注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵
X
T
X
X^{T}X
XTX 最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵
X
T
X
X^{T}X
XTX ，也能求出我们的右奇异矩阵V。
也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成，这个方法在样本量很大的时候很有效。
实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。
另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？
假设我们的样本是
m
×
n
m×n
m×n 的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵
X
X
T
XX^{T}
XXT 最大的d个特征向量张成的
m
×
d
m×d
m×d 维矩阵U，则我们如果进行如下处理： 可以得到一个
d
×
n
d×n
d×n 的矩阵X‘, 这个矩阵和我们原来的
m
×
n
m×n
m×n 维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。
左奇异矩阵可以用于行数的压缩。
右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。
6 总结
1.SVD分解是将一个矩阵分解为它的左特征空间矩阵和右特征空间矩阵，而中间的特征值矩阵则是代表着权值，因此我们每次只要选取那些重要的特征留存下来，就可以几乎没有损耗的还原原矩阵；
2.SVD分解可以看成是原矩阵的一种低秩表达；
3.SVD可以用于数据的去噪；
4.SVD可以用于特征维度的压缩；